Makalah Matematika Statistika

DATA TINGGI BADAN SISWA

No.	Nama	Tinggi Badan
1.	Achmad Bukhori	159
2.	Anesia Alamsyah	163
3.	Ayu Kusuma Dewi	151
4.	Baharudin Yusuf	161
5.	Benny Ananta	157
6.	Cantik Safitri	159
7.	Caca Hendrik	159
8.	Denny Sugito	162
9.	Dimas Anggara	157
10.	Deva Ekada	164
11.	Danita Dhanis	152
12.	Endang Maharani	166
13.	Fenita Rose	165
14.	Hendra Saputra	162
15.	Heri Susilo	171
16.	Ina Septiana	156
17.	Lina Siaputri	155
18.	Muhammad Yusuf	167
19.	Muhammad Zakky	161
20.	Nia Ramadhani	168
21.	Novialia	153
22.	Panji To	160
23.	Putri Ayu	167
24.	Qweera Tata	158
25.	Ratu Imada	168
26.	Rendy Pangalila	162
27.	Reno Bastian	170
28.	Rinto	159
29.	Sakuntala	156
30.	Saputra Agung	157
31.	Shinta Devi	154
32.	Tutik Sulistyo	167
33.	Tyo Agustinus	166
34.	Una	155
35.	Vetty Fatimah	161
36.	Vamala Bulan	168
37.	Yahona Lin	158
38.	Yuwana Galuh	169
39.	Zumbala fredy	159
40.	Zynaly Tan	160

1.     PENGUMPULAN DATA

Macam-macam cara pengumpulan data, antara lain :

a.    Penelitian lapangan (pengamatan langsung) atau observasi.

Pengumpulan data dilakukan langsung mengadakan penelitian ke lapangan atau laboratorium terhadap suatu objek penelitian.

b.    Wawancara (interview).

Pengumpulan data dilakukan dengan wawancara langsung kepada objek atau kepada orang yang mengetahui persoalan objek.

2.    PENYAJIAN DATA

a.    Distribusi Frekuensi

Langkah-langkah dalam membuat distribusi frekuensi :

1.    Menentukan Range/Jangkauan

2.    Menentukan banyaknya kelas, dengan rumus : k = 1 + 3,3 log n

k = 1 + 3,3 log 40

  = 1 + 5,29

  = 6,29

3.    Menentukan interval kelas dengan menggunakan aturan : t =

t =

  = 3,17 (3)

4.    Menentukan batas bawah dan batas atas kelas I dst

Ø  Menyusun Daftar Distribusi Frekuensi

Tinggi Badan (x)	Turus	Frekuensi (f)
151 – 153	III	3
154 – 156	IIII	5
157 – 159	IIII IIII	10
160 – 162	IIII III	8
163 – 165	III	3
166 – 168	IIII III	8
169 - 171	III	3
		40

Ø  Menyusun Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif

Tinggi Badan (x)	Frekuensi (f)	Tepi atas (U)	Tepi bawah (L)	fk≤	fk≥
151 – 153	3	153 + 0,5 = 153,5	151 - 0,5 = 150,5	3	40
154 – 156	5	156 + 0,5 = 156,5	154 – 0,5 = 153,3	8	37
157 – 159	10	159 + 0,5 = 159,5	157 – 0,5 = 156,5	18	29
160 – 162	8	162 + 0,5 = 162,5	160 – 0,5 = 159,5	26	26
163 – 165	3	163 + 0,5 = 163,5	163 – 0,5 = 162,5	29	18
166 – 168	8	166 + 0,5 = 166,5	166 – 0,5 = 165,5	37	8
169 - 171	3	171 + 0,5 = 171,5	169 – 0,5 = 168,5	40	3
	40

Tinggi Badan (x)	Frekuensi kumulatif		Frekuensi kumulatif relatif (%)
	(fk≤)	(fk≥)	(fkR≤)	(fkR≥)
151 – 153	3	40	7,5%	100%
154 – 156	8	37	20%	92,5%
157 – 159	18	29	45%	72.5%
160 – 162	26	26	65%	65%
163 – 165	29	18	72,5%	45%
166 – 168	37	8	92,5%	20%
169 - 171	40	3	100%	7,5%

Gambar atau Diagram

1.    Histogram

Histogram adalah diagram yang berupa batang-batang atau persegipanjang-persegipanjang tegak yang saling berimpit. Lebar persegipanjang sebanding dengan lebar kelas dan tinggi persegipanjang sebanding dengan besar frekuensi kelas interval masing-masing. Dari tabel distribusi frekuensi data kelompok tadi, dapat dibuat diagram Histogram seperti di bawah :

2.    Poligon Frekuensi

Poligram frekuensi adalah garis patah-patah yang menghubungkan titik tengah – titik tengah sisi atas histogram. Dari tabel distribusi frekuensi data kelompok tadi, dapat dibuat diagram Histogram seperti di bawah :

3.    Ogief Positif dan Ogief Negatif

Ogief adalah grafik yang digambarkan dalam bentuk table distribusi frekuensi kumulatif. Untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari, grafiknya berupa ogive positif, sedangkan untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari, grafiknya berupa ogive negatif.

Dari tabel di atas, dapat digambarkan ogive seperti pada diagram berikut :

3. PENGOLOHAN DATA

     A. UKURAN TENDENSI SENTRAL (UKURAN PEMUSATAN)

        1. Rata – rata (Mean)

a. Cara Langsung

Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan      menggunakan tabel di bawah ini :

Tinggi Badan	Titik Tengah (xi)	Frekuensi (fi)	fixi
151 – 153	152	3	456
154 – 156	155	5	775
157 – 159	158	10	1580
160 – 162	161	8	1288
163 – 165	164	3	492
166 – 168	167	8	1336
169 - 171	170	3	510
		40	6437

  Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut :

x =                       = 160, 925

             

b.    Cara Rataan Sementara

Sebelum menghitung rata-rata data berkelompok menggunakan simpangan rata-rata sementara, kita terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementaranya. Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut :

Tinggi Badan	Titik Tengah (xi)	Frekuensi (fi)	di = xi - 160	fidi
151 – 153	152	3	-8	-24
154 – 156	155	5	-5	-25
157 – 159	158	10	-2	-20
160 – 162	161	8	1	8
163 – 165	164	3	4	12
166 – 168	167	8	7	56
169 - 171	170	3	10	30
		40		37

  

  Hasil rata-rata hitungan menggunakan simpangan rata-rata adalah

x = x +  160 +  = 160 + 0,925                                              = 160, 925

c.    Metode Coding

Sama dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara, sebelum menghitung rata-rata dengan metode coding, kita juga harus menetapkan rata-rata sementara. Namun rata-rata sementara yang kita tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval.

Tinggi Badan	Titik Tengah(xi)	Frekuensi (fi)	Step-deviasi (u = )	Fu
151 – 153	152	3	-3	-9
154 – 156	155	5	-2	-10
157 – 159	158	10	-1	-10
160 – 162	161	8	0	0
163 – 165	164	3	1	3
166 – 168	167	8	2	16
169 - 171	170	3	3	9
		40		-1

   Keterangan :

   A =         = 161

   C = 153,5 – 150,3 = 3

             Hasil rata-rata hitungan menggunakan simpangan rata-rata adalah

X = A + c .    = 161 + 3 .    = 161 + (-0,075)    = 160,925

Jadi, dengan menggunakan cara langsung, cara rataan sementara, dan metode coding diperoleh Rata-rata (Mean) yang sama yaitu 160,925

            2. Modus data kelompok :

Untuk menentukan modus data berkelompok ada beberapa cara pendekatan, anatara lain :

-       Modus Distribusi Frekuensi

Tinggi Badan (cm)	Frekuensi
151	1
152	1
153	1
154	1
155	2
156	2
157	3
158	2
159	5
160	2
161	3
162	3
163	1
164	1
165	1
166	2
167	3
168	3
169	1
170	1
171	1

1.    Modus besar, yaitu nilai titik tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak. Kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak disebut kelas modus. Pendekatan ini jarang digunakan sebab penyimpangannya terlalu besar.

2.    Dengan menggunakan rumus yang diperoleh dari histogram.

Modus (Mo) = LO +  . i

Keterangan  :

L_O                           = Tepi bawah kelas modus

i                      = Interval kelas = lebar kelas

d₁                            = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya

d₂                  = Selisih frekuensi modus dengan frekuensi kelas sesudahnya

                  Dari data di atas tadi, didapatkan Modus berikut :

    Modus ( Mo) = L_O +  . i

                          = 156,5 +  . 3

                          = 156,5 +  . 3

                          = 156,5 +  

                  =

                  = 158,64cm (159 cm)

Jadi, dengan menggunakan cara tersebut diperoleh Nilai yang sering mucul  (Modus) yaitu 159 cm.

3.  Median data kelompok

Median (Md) = L +  . i

Keterangan :

Md                = Median

L                    = Batas bawah median

n                    = Jumlah data

f_k                   = Frekuensi data pada kelas median

i                     = Panjang interval kelas

Sebelum menggunakan rumus di atas, terlebih dahulu di buat tabel untuk menghitung frekensi kumulatif data. Tabelnya adalah sebagai berikut :

Tinggi Badan (cm)	Frekuensi (fi)	Frekuensi kumulatif (fk)
151 – 153	3	3
154 – 156	5	8
157 – 159	10	18
160 – 162	8	26
163 – 165	3	29
166 – 168	8	37
169 - 171	3	40

           

            Selanjutnya adalah menentukan nilai-nilai yang akan digunakan pada rumus.

Jumlah data adalah 40, sehingga mediannya terletak di antara data ke 20 dan 21. Data ke-20 dan ke-21 ini berada pada kelas interval ke-4  (160 – 162) . kelas interval ke-4 ini kita sebut kelas median. Melalui informasi kelas median, bisa kita peroleh batas bawah kelas median sama dengan 159,5. Frekuensi kumulatif sebelum kelas median adalah 18, dan frekuensi kelas median sama dengan 8. Diketahui juga, bahwa panjang kelas sama dengan 7. Secara matematis bisa diiringkas sebagai berikut :

L          = 159,5                        f_k          = 7

n          = 40                             f_m         = 8

i           = 3

Dari nilai-nilai tersebut dapat kita hitung median dengan menggunkan rumus median :

Median (Md) = L +  . i           = 159,5 +  . 3           = 159,5 +  . 3           = 159,5 +           = 164, 375 cm

           

Jadi, dengan menggunakan cara tersebut diperoleh Median yaitu 164, 375 cm.

B. UKURAN LETAK

    1. Kuartil (Q) Data Kelompok :

Q1 = L1 +  . i           dan   Q3 = L3 +   . i

            Dimana : L₁      = Tepi bawah kelas Q₁   ,   L₃      = Tepi bawah kelas Q₃

                            f_k1    = Frekuensi kelas sebelum kelas Q₁

                            f_k3     = Frekuensi kelas sebelum kelas Q₃

                            f_q1     = Frekuensi kelas yang memuat Q₁

                                     f_q3     = Frekuensi kelas yang memuat Q₃

            Posisi Q untuk data kelompok adalah sebagai berikut   , i = 1, 2, 3

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

Batas Bawah	Kelas Interval	Frekuensi	Frekuensi Kumulatif
150,5	151 – 153	3	3
153,5	154 – 156	5	8
156,5	157 – 159	10	18
159,5	160 – 162	8	26
162,5	163 – 165	3	29
165,5	166 – 168	8	37
168,5	169 - 171	3	40
		40

            Poisis Q₁  =    = 10,25            

            Frekuensi kumulatif yang ≥10,25 , Berarti ada pada kelas interval 157 – 159.

            Nilai Q₁ = L₁ +   . i

                      = 156,5 +   . 3

                                   = 156,5 +   .3

                          = 156,5 + 0,75

                     = 157,25

           

            Poisis Q₂  =    = 20,5

            Frekuensi kumulatif yang ≥20,5 , Berarti ada pada kelas interval 160 – 162.

            Nilai Q₂ = L₂ +   . i

                      = 159,5 +   . 3

                                    = 159,5 +   .3

                     = 159,5 + 0,75

            = 160,25

           

            Poisis Q₃  =    = 30,75

            Frekuensi kumulatif yang ≥20,5 , Berarti ada pada kelas interval 166 -168.

            Nilai Q₃ = L₃ +   . i

                        = 165,5 +   . 3

                        = 165,5 +   . 3

                        = 165,5 + 0,375

                        = 165,875

2. Desil Data Kelompok           :

    Poisis D₁  =    = 4,1

    Berarti ada pada kelas interval 154 – 156.

       Nilai D₁ = D₁ +   . i

                        = 153,5 +   . 3

                        = 153,5 +   . 3

                        = 153,5 + 0,6

                        = 154,1

   

    Poisis D₂  =    = 8,2

    Berarti ada pada kelas interval 157 – 159.

            Nilai D₂ = D₂ +   . i

                        = 156,5 +   . 3

                        = 156,5 +   . 3

                        = 156,5 + 0

                        = 156,5

         Poisis D₃  =    = 12,3

    Berarti ada pada kelas interval 157 – 159.

            Nilai D₃ = D₃ +   . i

                        = 156,5 +   . 3

                        = 156,5 +   . 3

                        = 156,5 + 1,2

                        = 157,7

3. Persentil Data Kelompok    :

    Poisis P₅₀  =    = 20,5

    Berarti ada pada kelas interval 160 – 162.

            Nilai P₅₀ = P₅₀ +   . i

                         = 159,5 +   . 3

                         = 159,5 +    . 3

                         = 156,5 + 0,6

                         = 157,1

   Poisis P₆₀  =    = 24,6

   Berarti ada pada kelas interval 160 – 162.

            Nilai P₆₀ = P₆₀ +   . i

                         = 159,5 +   . 3

                         = 159,5 +   . 3

                         = 156,5 + 1,8

                         = 158,3

   Poisis P₇₀  =    = 28,7

  Berarti ada pada kelas interval 163 – 165.

            Nilai P₇₀ = P₇₀ +   . i

                         = 162,5 +   . 3

                         = 159,5 +   . 3

                         = 159,5 + 2

                         = 161,5

  

C. UKURAN PENYEBARAN (DISPERSI)

      1. Simpangan Rata-Rata untuk Data Kelompok :

SR =

          Rumus :

Keterangan :

MD      = Deviasi rata-rata

f           = Jumlah frekuensi setiap kelas

X          = Nilai setiap data pengamatan

X          = Nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan

                                    n          = Jumlah data atau pengamatan dalam sampel

Tinggi Badan (cm)	Nilai Tengah (x)	f	fx	X - X	f X - X
151 – 153	152	3	456	8,925	26,775
154 – 156	155	5	775	5,925	29,625
157 – 159	158	10	1580	2,925	29,25
160 – 162	161	8	1288	0.075	0,6
163 – 165	164	3	492	3,075	9,225
166 – 168	167	8	1336	6,075	48,6
169 - 171	170	3	510	9,075	27.225
		40	6437		142,05

Dari data di atas tadi, didapatkan Simpangan Rata-Rata berikut :

  SR  =

                   =

                   = 3,55125

Jadi, dengan menggunakan cara tersebut diperoleh Simpangan Rata-Rata untuk data kelompok yaitu 3,56.

2.    Simpangan Baku (Deviasi Standar) (S) :

Rumus                        :

Jika datanya terdiri atas sekelompok ukuran : x₁, x₂, x₃, x₄,....x_k, dan masing-masing frekuensi f₁, f₂, f₃, f₄,....f_k dengan n =

            Penyederhanaan rumus simpangan baku :

                 S =

Jika frekuensi untuk masing-masing nilai dinyatakan dengan f₁,  f₂, f₃, f₄, .... f_n

S =

Untuk menghindari bilangan-bilangan besar, diguakan deviasi sementara (simpangan sementara) sehingga rumus simpangan menjadi : 

S =

Tinggi Badan (cm)	Nilai Tengah (x)	f	fx	X – X 2	f X – X 2
151 – 153	152	3	456	79,66	238,98
154 – 156	155	5	775	35,11	175,55
157 – 159	158	10	1580	8,56	85,6
160 – 162	161	8	1288	0.01	0,08
163 – 165	164	3	492	4,46	13,38
166 – 168	167	8	1336	36,91	295.28
169 - 171	170	3	510	82.36	247.08
		40	6437		1055,95

Dari data di atas tadi, didapatkan Simpangan Baku (Deviasi Standar) berikut :

        =

    =

            = 5,138

Jadi, dengan menggunakan cara tersebut diperoleh Simpangan Baku (Deviasi Standar) untuk data kelompok yaitu 5,14.

3.    Ragam atau Varians :

Rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya.

Untuk Populasi :

Untuk Sample  :

Interval	Nilai Tengah	f	fx	X – X	X – X  2	f X – X  2
151 – 153	152	3	456	-8,9	79	237
154 – 156	155	5	775	-5,9	35	175
157 – 159	158	10	1580	-2,9	8	80
160 – 162	161	8	1288	0,1	0	0
163 – 165	164	3	492	3,1	10	30
166 – 168	167	8	1336	6,1	37	296
169 - 171	170	3	510	9,1	83	249
		40	6437			1067

Dari data di atas tadi, didapatkan Ragam atau Varians berikut :

                    =

        = 26,68

     =

          = 27,36

Jadi, dengan menggunakan cara tersebut diperoleh Ragam atau Varians untuk populasi 26,68 dan untuk sample 27,36.