Matematikan Statistika makalah
DATA
TINGGI BADAN SISWA
No.
|
Nama
|
Tinggi
Badan
|
1.
|
Achmad
Bukhori
|
159
|
2.
|
Anesia
Alamsyah
|
163
|
3.
|
Ayu
Kusuma Dewi
|
151
|
4.
|
Baharudin
Yusuf
|
161
|
5.
|
Benny
Ananta
|
157
|
6.
|
Cantik
Safitri
|
159
|
7.
|
Caca
Hendrik
|
159
|
8.
|
Denny
Sugito
|
162
|
9.
|
Dimas
Anggara
|
157
|
10.
|
Deva
Ekada
|
164
|
11.
|
Danita
Dhanis
|
152
|
12.
|
Endang
Maharani
|
166
|
13.
|
Fenita
Rose
|
165
|
14.
|
Hendra
Saputra
|
162
|
15.
|
Heri
Susilo
|
171
|
16.
|
Ina
Septiana
|
156
|
17.
|
Lina
Siaputri
|
155
|
18.
|
Muhammad
Yusuf
|
167
|
19.
|
Muhammad
Zakky
|
161
|
20.
|
Nia
Ramadhani
|
168
|
21.
|
Novialia
|
153
|
22.
|
Panji
To
|
160
|
23.
|
Putri
Ayu
|
167
|
24.
|
Qweera
Tata
|
158
|
25.
|
Ratu
Imada
|
168
|
26.
|
Rendy
Pangalila
|
162
|
27.
|
Reno
Bastian
|
170
|
28.
|
Rinto
|
159
|
29.
|
Sakuntala
|
156
|
30.
|
Saputra
Agung
|
157
|
31.
|
Shinta
Devi
|
154
|
32.
|
Tutik
Sulistyo
|
167
|
33.
|
Tyo
Agustinus
|
166
|
34.
|
Una
|
155
|
35.
|
Vetty
Fatimah
|
161
|
36.
|
Vamala
Bulan
|
168
|
37.
|
Yahona
Lin
|
158
|
38.
|
Yuwana
Galuh
|
169
|
39.
|
Zumbala
fredy
|
159
|
40.
|
Zynaly
Tan
|
160
|
1.
PENGUMPULAN
DATA
Macam-macam cara pengumpulan data, antara lain :
a.
Penelitian lapangan (pengamatan langsung) atau observasi.
Pengumpulan data dilakukan
langsung mengadakan penelitian ke lapangan atau laboratorium terhadap suatu
objek penelitian.
b.
Wawancara (interview).
Pengumpulan data dilakukan
dengan wawancara langsung kepada objek atau kepada orang yang mengetahui
persoalan objek.
2.
PENYAJIAN
DATA
a. Distribusi Frekuensi
Langkah-langkah dalam
membuat distribusi frekuensi :
1.
Menentukan
Range/Jangkauan
2.
Menentukan banyaknya
kelas, dengan rumus : k = 1 + 3,3 log n
k = 1 + 3,3 log 40
= 1 + 5,29
= 6,29
3. Menentukan interval kelas dengan menggunakan aturan : t =
t =
= 3,17 (3)
4. Menentukan batas bawah dan batas atas kelas I dst
Ø Menyusun Daftar Distribusi Frekuensi
Tinggi Badan (x)
|
Turus
|
Frekuensi (f)
|
151
– 153
|
III
|
3
|
154
– 156
|
5
|
|
157
– 159
|
10
|
|
160
– 162
|
8
|
|
163
– 165
|
III
|
3
|
166
– 168
|
8
|
|
169
- 171
|
III
|
3
|
40
|
Ø Menyusun Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif
Tinggi
Badan (x)
|
Frekuensi
(f)
|
Tepi
atas
(U)
|
Tepi
bawah (L)
|
fk≤
|
fk≥
|
151 – 153
|
3
|
153
+ 0,5 = 153,5
|
151
- 0,5 = 150,5
|
3
|
40
|
154 – 156
|
5
|
156
+ 0,5 = 156,5
|
154
– 0,5 = 153,3
|
8
|
37
|
157 – 159
|
10
|
159
+ 0,5 = 159,5
|
157
– 0,5 = 156,5
|
18
|
29
|
160 – 162
|
8
|
162
+ 0,5 = 162,5
|
160
– 0,5 = 159,5
|
26
|
26
|
163 – 165
|
3
|
163
+ 0,5 = 163,5
|
163 – 0,5 = 162,5
|
29
|
18
|
166 – 168
|
8
|
166
+ 0,5 = 166,5
|
166
– 0,5 = 165,5
|
37
|
8
|
169 - 171
|
3
|
171
+ 0,5 = 171,5
|
169
– 0,5 = 168,5
|
40
|
3
|
40
|
Tinggi Badan (x)
|
Frekuensi kumulatif
|
Frekuensi kumulatif relatif (%)
|
||
(fk≤)
|
(fk≥)
|
(fkR≤)
|
(fkR≥)
|
|
151 – 153
|
3
|
40
|
7,5%
|
100%
|
154 – 156
|
8
|
37
|
20%
|
92,5%
|
157 – 159
|
18
|
29
|
45%
|
72.5%
|
160 – 162
|
26
|
26
|
65%
|
65%
|
163 – 165
|
29
|
18
|
72,5%
|
45%
|
166 – 168
|
37
|
8
|
92,5%
|
20%
|
169 - 171
|
40
|
3
|
100%
|
7,5%
|
Gambar atau Diagram
1.
Histogram
2. Poligon Frekuensi
Poligram
frekuensi adalah garis patah-patah
yang menghubungkan titik tengah – titik tengah sisi atas histogram. Dari tabel distribusi frekuensi data kelompok tadi, dapat
dibuat diagram Histogram seperti di bawah :
3.
Ogief Positif dan Ogief
Negatif
Ogief
adalah grafik yang digambarkan dalam bentuk table distribusi frekuensi
kumulatif. Untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi
kumulatif kurang dari, grafiknya berupa ogive positif, sedangkan untuk data
yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari,
grafiknya berupa ogive negatif.
Dari
tabel di atas, dapat digambarkan ogive seperti pada diagram berikut :
3. PENGOLOHAN DATA
A.
UKURAN TENDENSI SENTRAL (UKURAN PEMUSATAN)
1. Rata – rata (Mean)
a. Cara Langsung
Proses penghitungan rata-rata dengan
menggunakan titik tengah dibantu dengan
menggunakan tabel di bawah ini :
Tinggi Badan
|
Titik Tengah (xi)
|
Frekuensi (fi)
|
fixi
|
151
– 153
|
152
|
3
|
456
|
154
– 156
|
155
|
5
|
775
|
157
– 159
|
158
|
10
|
1580
|
160
– 162
|
161
|
8
|
1288
|
163
– 165
|
164
|
3
|
492
|
166
– 168
|
167
|
8
|
1336
|
169
- 171
|
170
|
3
|
510
|
40
|
6437
|
Dengan begitu dapat kita hitung
rata-rata data berkelompok sebagai berikut :
x =
= 160, 925
|
b. Cara Rataan Sementara
Sebelum
menghitung rata-rata data berkelompok menggunakan simpangan rata-rata
sementara, kita terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementaranya. Misalkan
rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa
membuat tabel penghitungan sebagai berikut :
Tinggi Badan
|
Titik Tengah (xi)
|
Frekuensi (fi)
|
di = xi
- 160
|
fidi
|
151
– 153
|
152
|
3
|
-8
|
-24
|
154
– 156
|
155
|
5
|
-5
|
-25
|
157
– 159
|
158
|
10
|
-2
|
-20
|
160
– 162
|
161
|
8
|
1
|
8
|
163
– 165
|
164
|
3
|
4
|
12
|
166
– 168
|
167
|
8
|
7
|
56
|
169
- 171
|
170
|
3
|
10
|
30
|
40
|
37
|
Hasil rata-rata hitungan menggunakan
simpangan rata-rata adalah
x = x +
= 160, 925
|
c. Metode Coding
Sama dengan
menggunakan simpangan rata-rata sementara, sebelum menghitung rata-rata dengan
metode coding, kita juga harus menetapkan rata-rata sementara. Namun rata-rata
sementara yang kita tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah
satu kelas interval.
Tinggi Badan
|
Titik Tengah(xi)
|
Frekuensi (fi)
|
Step-deviasi
(u =
|
Fu
|
151
– 153
|
152
|
3
|
-3
|
-9
|
154
– 156
|
155
|
5
|
-2
|
-10
|
157
– 159
|
158
|
10
|
-1
|
-10
|
160
– 162
|
161
|
8
|
0
|
0
|
163
– 165
|
164
|
3
|
1
|
3
|
166
– 168
|
167
|
8
|
2
|
16
|
169
- 171
|
170
|
3
|
3
|
9
|
40
|
-1
|
Keterangan :
A =
= 161
C
= 153,5 – 150,3 = 3
Hasil rata-rata
hitungan menggunakan simpangan rata-rata adalah
X = A + c .
= 161 + 3 .
= 161 + (-0,075)
= 160,925
|
Jadi, dengan menggunakan cara langsung,
cara rataan sementara, dan metode coding diperoleh Rata-rata (Mean) yang sama
yaitu 160,925
2. Modus data
kelompok :
Untuk menentukan modus data
berkelompok ada beberapa cara pendekatan, anatara lain :
-
Modus
Distribusi Frekuensi
Tinggi
Badan (cm)
|
Frekuensi
|
151
|
1
|
152
|
1
|
153
|
1
|
154
|
1
|
155
|
2
|
156
|
2
|
157
|
3
|
158
|
2
|
159
|
5
|
160
|
2
|
161
|
3
|
162
|
3
|
163
|
1
|
164
|
1
|
165
|
1
|
166
|
2
|
167
|
3
|
168
|
3
|
169
|
1
|
170
|
1
|
171
|
1
|
1.
Modus
besar, yaitu nilai titik tengah kelas interval yang memiliki frekuensi
terbanyak. Kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak disebut kelas
modus. Pendekatan ini jarang digunakan sebab penyimpangannya terlalu besar.
2.
Dengan
menggunakan rumus yang diperoleh dari histogram.
Modus (Mo) = LO +
|
Keterangan :
LO
= Tepi bawah
kelas modus
i =
Interval kelas = lebar kelas
d1 = Selisih
frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
d2 =
Selisih frekuensi modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
Dari data di
atas tadi, didapatkan Modus berikut :
Modus ( Mo) = LO +
.
i
= 156,5 +
.
3
= 156,5 +
.
3
= 156,5 +
=
=
158,64cm (159 cm)
Jadi, dengan menggunakan cara
tersebut diperoleh Nilai yang sering mucul
(Modus) yaitu 159 cm.
3.
Median data kelompok
Median (Md)
= L +
.
i
Keterangan :
Md = Median
L = Batas bawah median
n = Jumlah data
fk = Frekuensi data pada kelas median
i = Panjang interval kelas
Sebelum menggunakan
rumus di atas, terlebih dahulu di buat tabel untuk menghitung frekensi
kumulatif data. Tabelnya adalah sebagai berikut :
Tinggi
Badan (cm)
|
Frekuensi
(fi)
|
Frekuensi
kumulatif (fk)
|
151
– 153
|
3
|
3
|
154
– 156
|
5
|
8
|
157
– 159
|
10
|
18
|
160 – 162
|
8
|
26
|
163
– 165
|
3
|
29
|
166
– 168
|
8
|
37
|
169
- 171
|
3
|
40
|
Selanjutnya adalah menentukan nilai-nilai yang akan
digunakan pada rumus.
Jumlah data adalah 40, sehingga
mediannya terletak di antara data ke 20 dan 21. Data ke-20 dan ke-21 ini berada
pada kelas interval ke-4 (160 – 162) .
kelas interval ke-4 ini kita sebut kelas median. Melalui informasi kelas
median, bisa kita peroleh batas bawah kelas median sama dengan 159,5. Frekuensi
kumulatif sebelum kelas median adalah 18, dan frekuensi kelas median sama
dengan 8. Diketahui juga, bahwa panjang kelas sama dengan 7. Secara matematis
bisa diiringkas sebagai berikut :
L =
159,5 fk = 7
n =
40 fm = 8
i =
3
Dari
nilai-nilai tersebut dapat kita hitung median dengan menggunkan rumus median :
Median (Md) = L +
= 159,5 +
= 159,5 +
= 159,5 +
= 164, 375 cm
|
Jadi,
dengan menggunakan cara tersebut diperoleh Median yaitu 164, 375 cm.
B. UKURAN LETAK
1. Kuartil
(Q) Data Kelompok :
Q1
= L1 +
|
Dimana : L1 =
Tepi bawah kelas Q1 , L3 = Tepi bawah kelas Q3
fk1 = Frekuensi kelas sebelum kelas Q1
fk3 = Frekuensi kelas sebelum kelas Q3
fq1 = Frekuensi kelas yang memuat Q1
fq3 =
Frekuensi kelas yang memuat Q3
Posisi Q untuk data kelompok adalah sebagai berikut
, i = 1, 2, 3
TABEL
DISTRIBUSI FREKUENSI
Batas
Bawah
|
Kelas
Interval
|
Frekuensi
|
Frekuensi
Kumulatif
|
150,5
|
151
– 153
|
3
|
3
|
153,5
|
154
– 156
|
5
|
8
|
156,5
|
157
– 159
|
10
|
18
|
159,5
|
160
– 162
|
8
|
26
|
162,5
|
163
– 165
|
3
|
29
|
165,5
|
166
– 168
|
8
|
37
|
168,5
|
169
- 171
|
3
|
40
|
40
|
Poisis
Q1 =
= 10,25
Frekuensi
kumulatif yang ≥10,25 , Berarti ada pada kelas interval 157 – 159.
Nilai Q1 = L1 +
. i
= 156,5 +
. 3
= 156,5 +
.3
= 156,5 + 0,75
= 157,25
Poisis
Q2 =
= 20,5
Frekuensi
kumulatif yang ≥20,5 , Berarti ada pada kelas interval 160 – 162.
Nilai Q2 = L2 +
. i
=
159,5 +
. 3
=
159,5 +
.3
= 159,5
+ 0,75
= 160,25
Poisis
Q3 =
= 30,75
Frekuensi
kumulatif yang ≥20,5 , Berarti ada pada kelas interval 166 -168.
Nilai
Q3 = L3
+
. i
=
165,5 +
. 3
=
165,5 +
. 3
=
165,5 + 0,375
=
165,875
2. Desil
Data Kelompok :
Poisis D1 =
= 4,1
Berarti ada pada kelas interval 154 – 156.
Nilai
D1 = D1
+
. i
=
153,5 +
. 3
= 153,5 +
. 3
=
153,5 + 0,6
=
154,1
Poisis D2 =
= 8,2
Berarti ada pada kelas
interval 157 – 159.
Nilai
D2 = D2
+
. i
=
156,5 +
. 3
=
156,5 +
. 3
=
156,5 + 0
=
156,5
Poisis
D3 =
= 12,3
Berarti ada pada kelas
interval 157 – 159.
Nilai
D3 = D3
+
. i
=
156,5 +
. 3
=
156,5 +
. 3
=
156,5 + 1,2
=
157,7
3. Persentil Data
Kelompok :
Poisis P50 =
= 20,5
Berarti ada pada kelas
interval 160 – 162.
Nilai
P50 = P50
+
. i
=
159,5 +
. 3
=
159,5 +
. 3
=
156,5 + 0,6
=
157,1
Poisis P60 =
= 24,6
Berarti ada pada kelas
interval 160 – 162.
Nilai
P60 = P60
+
. i
=
159,5 +
. 3
=
159,5 +
. 3
=
156,5 + 1,8
=
158,3
Poisis P70 =
= 28,7
Berarti ada pada kelas interval 163 – 165.
Nilai
P70 = P70
+
. i
=
162,5 +
. 3
=
159,5 +
. 3
=
159,5 + 2
=
161,5
C.
UKURAN PENYEBARAN (DISPERSI)
1. Simpangan Rata-Rata untuk Data Kelompok :
SR =
|
Keterangan
:
MD = Deviasi rata-rata
f =
Jumlah frekuensi setiap kelas
X = Nilai setiap data pengamatan
n = Jumlah data atau pengamatan dalam
sampel
Tinggi Badan (cm)
|
Nilai Tengah (x)
|
f
|
fx
|
||
151 – 153
|
152
|
3
|
456
|
8,925
|
26,775
|
154 – 156
|
155
|
5
|
775
|
5,925
|
29,625
|
157 – 159
|
158
|
10
|
1580
|
2,925
|
29,25
|
160 – 162
|
161
|
8
|
1288
|
0.075
|
0,6
|
163 – 165
|
164
|
3
|
492
|
3,075
|
9,225
|
166 – 168
|
167
|
8
|
1336
|
6,075
|
48,6
|
169 - 171
|
170
|
3
|
510
|
9,075
|
27.225
|
40
|
6437
|
142,05
|
Dari data di
atas tadi, didapatkan Simpangan Rata-Rata berikut :
=
=
3,55125
Jadi, dengan menggunakan cara tersebut diperoleh
Simpangan Rata-Rata untuk data kelompok yaitu 3,56.
2. Simpangan
Baku (Deviasi Standar) (S) :
Jika datanya terdiri atas sekelompok
ukuran : x1, x2, x3, x4,....xk,
dan masing-masing frekuensi f1, f2, f3, f4,....fk
dengan n =
Penyederhanaan rumus
simpangan baku :
S =
Jika frekuensi untuk
masing-masing nilai dinyatakan dengan f1, f2, f3, f4,
.... fn
S =
|
Untuk
menghindari bilangan-bilangan besar, diguakan deviasi sementara (simpangan
sementara) sehingga rumus simpangan menjadi :
S =
|
Tinggi Badan (cm)
|
Nilai Tengah (x)
|
f
|
fx
|
||
151 – 153
|
152
|
3
|
456
|
79,66
|
238,98
|
154 – 156
|
155
|
5
|
775
|
35,11
|
175,55
|
157 – 159
|
158
|
10
|
1580
|
8,56
|
85,6
|
160 – 162
|
161
|
8
|
1288
|
0.01
|
0,08
|
163 – 165
|
164
|
3
|
492
|
4,46
|
13,38
|
166 – 168
|
167
|
8
|
1336
|
36,91
|
295.28
|
169 - 171
|
170
|
3
|
510
|
82.36
|
247.08
|
40
|
6437
|
1055,95
|
Dari
data di atas tadi, didapatkan Simpangan Baku (Deviasi Standar) berikut :
=
=
= 5,138
Jadi, dengan menggunakan cara tersebut diperoleh
Simpangan Baku (Deviasi Standar) untuk data kelompok yaitu 5,14.
3. Ragam
atau Varians :
Untuk Populasi :
Untuk Sample :
Interval
|
Nilai Tengah
|
f
|
fx
|
|||
151
– 153
|
152
|
3
|
456
|
-8,9
|
79
|
237
|
154
– 156
|
155
|
5
|
775
|
-5,9
|
35
|
175
|
157
– 159
|
158
|
10
|
1580
|
-2,9
|
8
|
80
|
160
– 162
|
161
|
8
|
1288
|
0,1
|
0
|
0
|
163
– 165
|
164
|
3
|
492
|
3,1
|
10
|
30
|
166
– 168
|
167
|
8
|
1336
|
6,1
|
37
|
296
|
169
- 171
|
170
|
3
|
510
|
9,1
|
83
|
249
|
40
|
6437
|
1067
|
Dari data
di atas tadi, didapatkan Ragam atau Varians berikut :
=
= 26,68
=
= 27,36
Jadi, dengan
menggunakan cara tersebut diperoleh Ragam atau Varians untuk populasi 26,68 dan untuk sample 27,36.
Komentar
Posting Komentar